[2014년 가좌고]

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[1학년 2학기 기말]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음과 같다.
[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``:`1,```7,```13,``` CDOTS]일 때, 여섯 번째 항을 [eqn: a _{6}]이라 하고,
[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ``:`1,```2,```4,``` CDOTS]일 때, 일곱 번째 항을 [eqn: b _{7}]이라 할 때, [eqn: a _{6} +b _{7}]의 값은?

③

① [eqn: 93]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 95]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 97]

다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +x+a]를 일차식 [eqn: x], [eqn: x-1], [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {3a _{n} -1} over {4a _{n} -1}]([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])으로 정의될 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k-1)a _{k}]의 값은?

④

① [eqn: 28]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 66]

첫째항이 [eqn: -10]이고, [eqn: a _{9} =14]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=5} ^{10} a _{k}]의 값은?

①

① [eqn: 57]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 59]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 61]

다음은 프랙털 구조를 지닌 ‘코흐 눈송이’에 대한 설명이다. 주어진 방법으로 코흐 눈송이를 계속 만들어 나갈 때, (2)의 과정을 [eqn: 20]번 시행한 후 만들어지는 도형의 둘레를 [eqn: l]이라 하자. 이 때, [eqn: 3 ^{20} TIMES l]의 값은?

⑤

프랙털 구조란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만든 것으로 자기 유사성과 순환성이라는 특징을 가지고 있다. 유명한 프랙털의 예로 ‘코흐 눈송이’가 있는데, 만드는 방법은 다음과 같다.

(1) 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형을 그린다.

(2) 각 변을 [eqn: 3]등분하여 가운데의 [eqn: {1} over {3}]부분을 삭제하고,

삭제한 부분에 한 변의 길이가 [eqn: 3]등분의 길이와

같은 정삼각형을 추가한다.

(3) 만들어진 각 변에 이와 같은 과정을 계속해서

반복한다.

① [eqn: 2 ^{20}]	② [eqn: 2 ^{40}]	③ [eqn: 2 ^{41}]

④ [eqn: 9 TIMES 2 ^{38}]	⑤ [eqn: 3 TIMES 2 ^{40}]

다음은 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n} CDOTS ( AST )]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (가)에 알맞은 수를 [eqn: a], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]이라 할 때, [eqn: 4 TIMES {f(a)} over {g(a)}]의 값은?

⑤

(Ⅰ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: (좌변)=(`````(가)`````)]이고, [eqn: (우변)= { 3} over {2 }]

이므로 부등식 [eqn: ( AST )]이 성립한다.

(Ⅱ) [eqn: n=k(k GEQ 2)]일 때, 부등식 [eqn: ( AST )]이 성립한다고

가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} <2- {1} over {k}] … ㉠

㉠의 양변에 [eqn: (`````(나)`````)]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} +(````(나)````)<2- {1} over {k} +(````(나)````)]

[eqn: =2- LEFT { {1} over {k} -(````(나)````) RIGHT }]

그런데 [eqn: LEFT { {1} over {k} -(````(나)````) RIGHT } - {1} over {k+1} =(````(다)````)>0]

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} + {1} over {(k+1) ^{2}} >2- {1} over {k+1}]

이 성립한다.

(Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 부등식 [eqn: ( AST )]은 [eqn: n GEQ 2]인 모든

자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: sum _{k=3} ^{10} {3} over {k ^{2} -1} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

②

① [eqn: 71]	② [eqn: 108]	③ [eqn: 216]

④ [eqn: 218]	⑤ [eqn: 271]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} (k ^{3} -6k ^{2} +2k+3)]의 값은?

①

① [eqn: -60]	② [eqn: -30]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 60]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = rm S _{it n rm}]이라고 할 때, 옳은 것은?

⑤

① [eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +b _{k} )= sum _{k=1} ^{n} b _{k}]이고, [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} b _{k} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} sum _{k=1} ^{n} b _{k}]이다.

② [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = rm S it rm _{n}]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} ^{2} = rm S it rm _{n} ^{2}]이다.

③ [eqn: rm S it rm _{n} =n ^{2} +1]일 때, [eqn: a _{1} +a _{4} =8]이다.

④ [eqn: sum _{k=1} ^{3n} (a _{k} -1)= rm S it rm _{3n} -1]이다.

⑤ [eqn: sum _{k=3} ^{n} k ^{2} = sum _{k=1} ^{n} k ^{2} -5]

[eqn: root {4} of {16 ^{2}} ÷( root {4} of {2} ) ^{8} - sqrt {root {3} of {64}}]를 간단히 하면?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, [eqn: root {3} of {a ^{2} b} ÷ root {6} of {a ^{3} b ^{2}} TIMES root {12} of {a ^{7} b ^{6}} = root {12} of {a ^{m} b ^{n}}]이다. [eqn: m+n]의 값은?

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: LEFT | sqrt {3} - root {6} of {13} RIGHT | + LEFT | root {4} of {5} - root {6} of {13} RIGHT | + LEFT [ root {5} of {100} RIGHT ]]를 간단히 하면? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

③

① [eqn: root {4} of {5} - sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {3} - root {4} of {5} +1]	③ [eqn: sqrt {3} - root {4} of {5} +2]

④ [eqn: sqrt {3} - root {4} of {5} +3]	⑤ [eqn: root {4} of {5} - sqrt {3} +2]

양의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k]의 여섯제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: a>b])라 하고, [eqn: k]의 다섯제곱근 중 실수인 것을 [eqn: c], [eqn: -k]의 다섯제곱근 중 실수인 것을 [eqn: d]라 한다. 이 때, [eqn: log _{2} {c} over {a} -1=log _{2} {b} over {d}]를 만족하는 [eqn: k]의 값은?

③

① [eqn: 2 ^{13}]	② [eqn: 2 ^{14}]	③ [eqn: 2 ^{15}]

④ [eqn: 2 ^{16}]	⑤ [eqn: 2 ^{17}]

로그에 관한 계산 중 옳은 것을 보기에서 모두 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: 81 ^{2log _{3} root {4} of {5}} =25]

ㄴ. [eqn: log _{3} 21÷log _{3} 7=1]

ㄷ. [eqn: log _{4} 3 TIMES log _{4} 5=log _{4} 15]

ㄹ. [eqn: log _{2} 3 TIMES log _{3 ^{2}} 5 TIMES log _{5} 2 ^{3} = {3} over {2}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄷ, ㄹ

[eqn: log _{(5-x)} (10+3x-x ^{2} )]가 정의되기 위한 모든 정수 [eqn: x]의 합은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 15]

등식 [eqn: log _{2} rm N= it a`log _{2} 3+b`log _{2} 5+c]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 존재할 때, [eqn: 30 LEQ rm N LEQ 40]인 자연수 [eqn: rm N]의 개수는?

④

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

지진계로 측정된 최대진폭이 [eqn: rm K mu m]인 지진의 규모 [eqn: rm M]은 다음과 같이 정의한다.
[eqn: rm M=log rm K-log rm K _{0} (K _{0} 은```같은```거리에서```측정한```표준진폭)]
진원지로부터 [eqn: rm 20Km] 떨어진 지점의 표준 진폭이 [eqn: rm 0.02 mu m]일 때, 같은 거리에서 최대진폭이 [eqn: rm 4000 mu m]인 지진의 규모는? (단, [eqn: log _{10} 2=0.30]으로 계산한다.)

①

① [eqn: 5.3]	② [eqn: 5.5]	③ [eqn: 5.8]

④ [eqn: 6.2]	⑤ [eqn: 6.5]

서술형

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이
[eqn: a _{8} CDOT a _{10} =100], [eqn: a _{9} +a _{11} =30]
을 만족시킬 때, [eqn: a _{11} +a _{13} +a _{15} +a _{17} +a _{19} +a _{21}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 1260]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} =cn ^{2} -2n], [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k} =n ^{2} +cn]을 만족시키고, [eqn: a _{10} =13]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{19} (-1) ^{k+1} a _{k}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 263]

[eqn: 2 ^{2x} +2 ^{-2x} =3]일 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: sqrt {5}]	(2) [eqn: 2 sqrt {5}]

(1) [eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

(2) [eqn: 2 ^{3x} +2 ^{-3x}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 1]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: log _{a} c:log _{b} c=4:3]일 때, [eqn: log _{a} b+log _{b} a]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[eqn: {25} over {12}]

[2014년 가좌고]

[1학년 2학기 기말]

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